productos notables

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común



El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio [editar] Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:
un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo simplificando:

Producto de dos binomios con un término común [editar] Ilustración gráfica del producto de binomios con un término comúnCuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo agrupando términos:
luego:

Producto de dos binomios conjugados [editar] Producto de binomios conjugadosDos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
Ejemplo agrupando términos:

Polinomio al cuadrado [editar] Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráficaPara elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Ejemplo multiplicando los monomios:
agrupando términos:
luego:

Binomio al cubo o cubo de un binomio [editar] Descomposición volumétrica del binomio al cuboPara calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Ejemplo agrupando términos:
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
Ejemplo agrupando términos:

Identidad de Argand [editar]
Identidades de Gauss [editar]
Identidades de Legendre [editar]
Identidades de Lagrange [editar]
Otras identidades [editar]Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:
Suma de cubos Resta de cubos Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (constrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).
La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:
Suma de potencias n-ésimas aunque la fórmula anterior sólo es válida cuando n es impar. Diferencia de potencias n-ésimas Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio.